ポアンカレ予想が解決されていたらしい。。。

[この文章は2年ほど前に書かれたものです。mixiの某コミュのために転記しました。]

知らない間に、ポアンカレ予想が解決されていたらしい。

おいおい。マジですか。

生きている間に、すごいことが起きますねえ。こんなもの、解決されるとは思っても見ませんでした。

早速、数学セミナーを取り寄せてみることにした。

ちなみに私は門外漢なので、言葉の使い方が概念などは間違っているかもしれないので、予めお断りしておきます。

証明したのは、ロシア人Perelman

リッチ・フローと呼ばれる非線形変微分方程式を用いて証明したらしい。

ちなみにリッチはRicciと書き、人の名前である。rich flowではない。

そもそもポアンカレ予想とは何ですか？と聞かれて、うまく説明するのは難しいのだけど、

「単連結な三次元多様体は球面と同相か？」

ということを日本語に訳すと、、

「ある４次元体を一つ持ってきたとき、どの点でも３次元球と同じであれば、その物体は４次元球と同じと見なせるのではないか？」

ということですかね。余計わからんな。

ミクロな視点である規則がなりたつときに、マクロな性質に言及できるというところでしょうか。

で、数学セミナーで勉強する限り、

ポアンカレ予想は、１９７０～２０００年頃まで　山辺不変量とかカラビ予想を足がかりに解決されるのではないかと言われていたわけですが、前述のPerelmanは１９８０年代に出てきたリチャード・ハミルトンらのリッチ・フローによって解決してしまったようです。

このあたりの流れは、マイナーがメジャーを覆すという劇的な話。

もう少し証明の経緯と内容を続けると、

先の例で、４次元体を持ってきたときに、各点での性質では扱い難いので、４次元体をパーツに分けて、それぞれが、ある性質をもてばOKという話がでてきた。これが、幾何化予想といわれるもので、１９８０年代のこと。

ちょうど同じ年代に、前述したリチャード・ハミルトンがリッチ・フローという概念を生み出した。専門的過ぎてよく分からないのだけど、ポアンカレ予想のようにミクロ的性質からマクロ的性質を導くことができるというものであるようだ。

Perelmanの解決方針は基本的には、このハミルトンのリッチ・フローの概念を用いて、幾何化予想を解決するという方針。で、この方針はカラビ予想を解決したYauも当時から「できるのではないか？」という指摘をしていたらしい。そのあたりの経緯が雑誌などではYauとPerelmanとの確執などの形で面白おかしく取りざたされたのだろう。

ところで、幾何化予想でもう一つ取り上げる話として「手術」という話がある。これは、各パーツごとに同相であるとして、本当にくっつけることが可能なのか？（特異点にならないか）ということを証明しなければならない。これを証明するために用いられている手法が「手術」といわれている。言うは易し。では、実際にどのように手術するのか？その具体的な方法は？

ハミルトンは、まず、発生の可能性のある特異点の性質を調べた。また、発生条件も調べた。その上で、特異点が発生しないような手術の方法を考え出したといっていいと思う。。。多分。

以上で、私が知りえたポアンカレ予想の全容。

というか、自分が生きている間にフェルマーの最終定理は解決されるし、ポアンカレ予想は解決されるし。。。

全く凄い時代に生まれたものだと思うよ。本当に。